ÉTUDES GEOMÉTRIQUES DE
WALTER MEYER V.
Présentation
Ces pages sont dirigées principalement aux professeurs
et étudiants du secondaire ayant l’esprit critique.
Les systèmes traditionnels de formation inhibent cet
esprit critique chez les étudiants et professeurs. Résultat paradoxal, par
exemple : l’enseignement des mathématiques n’a pas remis en question le
fait de mesurer l’aire d’une figure courbe avec des unités carrées de mesures.
Ne serait-il pas plus logique de mesurer cette aire en unités circulaires de
mesures?
Nous allons ici présenter en premier lieu une ingénieuse méthode
permettant de calculer la valeur de « p » grâce au Théorème de
Pythagore. Ensuite, à partir
du théorème des égalités de périmètres de circonférences nous présenterons
différents théorèmes pour les circonférences et les volumes. Ces résultats nous
amèneront à proposer le concept de géométrie circulaire, dans lequel la valeur
« p » n’est pas
nécessaire.
CALCUL DU PÉRIMÈTRE
D’UNE CIRCONFÉRENCE À PARTIR DE CIRCONFÉRENCES DE DIAMÈTRES INFÉRIEURS
Prends une circonférence
quelconque de diamètre D (unités linéaires).
Divise alors le diamètre en “n”
parties quelconques.
Si tu utilises chacune d’elles
comme le diamètre d’une circonférence,
alors la somme des périmètres de
toutes ces circonférences est égale au périmètre de la circonférence de
diamètre D.
Note que le résultat ne dépend pas du nombre
« n » de segments dont tu divises le diamètre D ni de la longueur de
ces segments. Ce résultat est remarquable tant par sa simplicité que par son
utilité. À partir de celui-ci il est possible de définir une unité diamétrale
de mesure, ce qui nous permettrait de « mesurer » le périmètre d’une
circonférence sans utiliser la valeur « p », évitant ainsi, dans le résultat,
l’inexactitude déjà mentionnée. Par exemple, nous pourrions définir 1
centimètre diamétral (1cmd) comme le « périmètre » d’une
circonférence dont le diamètre est 1 centimètre.
Ainsi : 1cmd + 2cmd = 3cmd.
En d’autres termes, la somme d’une circonférence de 1 centimètre diamétral et
d’une circonférence de 2 centimètres diamétraux est égale à la circonférence de
3 centimètres diamétraux.
CALCUL DE L’AIRE
D’UN CERCLE À PARTIR DE CERCLES DE DIAMÈTRES INFÉRIEURS
Prends un carré dans lequel est
inscrit un cercle.
Divise-le maintenant en n x n
carrés de taille inférieure.
Si tu inscris un cercle dans
chacun des carrés,
alors la somme des aires de ces n
x n cercles est égale à l’aire du cercle inscrit dans le grand carré.
Il est donc possible de définir
une unité circulaire de mesure qui ne dépende pas non plus de la valeur de
« p ». Nous
pourrions définir 1 centimètre circulaire (1cmc) comme
l’ « aire » d’un cercle dont le diamètre est 1 centimètre. Ainsi
l’aire d’un cercle de 5 centimètre de diamètre est égale à (5 x 5) fois 1 cmc
(centimètre circulaire), c'est-à-dire 25 cmc.
CALCUL DU VOLUME
D’UNE SPHÈRE À PARTIR DE SPHÈRES DE DIAMÈTRES INFÉRIEURS
De façon analogue, prends
maintenant un cube dans lequel est inscrite une sphère.
Divise-le en n x n x n cubes plus
petits.
Si tu inscris une sphère dans chaque cube ainsi créé,
Clique sur l’image pour
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alors la somme des volumes de ces
n x n x n petites sphères est égale au volume de la sphère inscrite dans le
grand cube. Nous pouvons ainsi définir une unité sphérique de mesure qui ne dépend
pas de la valeur de « p ».
Nous pourrions définir 1
centimètre sphérique (1cms) comme le “volume” d’une sphère dont le
diamètre est 1 centimètre. Ainsi le volume d’une sphère de 4 centimètres de diamètre
est égal à (4x4x4) fois 1cms, c’est à dire, 64cms.
PROBLÈME OUVERT
L’analyse antérieure nous ouvre la possibilité d’un système de mesures circulaires qui éliminerait l’inexactitude introduite par « p ».
Plus explicitement, nous parlons d’une géométrie circulaire. Se pose alors la question logique de savoir si ces unités de mesure serviront pour mesurer périmètres, aires et volumes de n’importe quelle figure courbe. Tu pourrais peut-être essayer d’y répondre en répétant les raisonnements antérieurs pour le cas d’une figure connue comme l’ellipse par exemple. Si tu as besoin d’un petit coup de pouce, n’hésite pas m’envoyer un courrier avec tes questions au mail suivant : curiosidadesgeometricas@gmail.com.
